Похідна та її застосування



Скачати 179.18 Kb.
Сторінка3/10
Дата конвертації08.11.2018
Розмір179.18 Kb.
Назва файлупохідна.doc
ТипРеферат
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Рис. 2

Систематичне вчення про похідні розвите Лейбніцем і Ньютоном, що сформулював і дві основні проблеми аналізу:

«1. Довжина прохідного шляху постійно (тобто В будь-який момент часу) дана; потрібно знайти швидкість руху в запропонований час.

2. Швидкість руху постійно дана; потрібно знайти довжину пройденого в запропонований час шляху».

Якщо Ньютон виходив в основному з задач механіки (ньютонов аналіз створювався одночасно з ньютоновой класичною механікою), то Лейбніц по перевазі виходив з геометричних задач.

Говорячи про наступний розвиток ідей аналізу (а вони дуже швидко завоювали популярність і знайшли багатьох послідовників), випливає в першу чергу назвати імена учнів Лейбніца — братів Я. і И. Бернуллі.

А. Лопіталь (1661—1704), що учився в И. Бернуллі, видав вже в 1696 р. перший друкований курс диференціального числення «Аналіз нескінченно малих для дослідження кривих ліній», що сприяв поширенню нових методів.

Ряд великих результатів одержав Лагранж, його роботи зіграли важливу роль в осмисленні основ аналізу.

Як і у випадку багатьох інших розділів математики, неоціненний внесок у розвиток математичного аналізу, внесений Л. Ейлером і К. Ф. Гаусом (1777—1855).

У короткому нарисі неможливо розповісти про суть відкриттів, зроблених у XVIII в. і пізніше. Але про один напрямок не можна не згадати. Мова йде про розклад функцій у степеневі ряди, тобто про представлення функцій у виді багаточленів з нескінченним числом доданків. З прикладом нескінченної суми (числового ряду) ми знайомі: нескінченні періодичні дроби представлялися у виді суми нескінченного числа доданків. З числовими і функціональними рядами працював не тільки Ньютон, але і його попередники, і тому трохи несправедлива назва формула Тейлора (Б. Тейлор (1685—1731) — англійський математик, опублікувавши8ший її в 1715 р.), прийняте для наступного чудового співвідношення:



(тут — значення, отримане n-кратним диференціюванням функції в точці ).

Виявилося, що в ряді випадків, відкидаючи нескінченне число доданків, можна одержувати формули, що дають гарні наближення функцій багаточленами.

2) ентузіазм, викликаний появою нового могутнього методу, що дозволяє вирішувати широке коло задач, сприяв бурхливому розвитку аналізу XVIII в. Але до кінця цього сторіччя проблеми, що виникли вже у творців диференціального й інтегрального числень, проявилися дуже гостро.

Основні труднощі полягали в тому, що точні означення таких ключових понять, як границя, неперервність, дійсне число, були відсутні (відповідно і міркування містили логічні пробіли, а іноді були навіть помилкові). Характерний приклад — визначення неперервності. Ейлер, Лагранж і навіть Фур’є (а він працював уже на початку XIX в.) називали неперервною функцію, що у своїй області визначення задана одним аналітичним вираженням.

Тим самим «нова» математика не відповідала стандартам строгості, звичним для вчених, вихованих на класичних зразках грецьких математиків. Інтуїція, настільки необхідна математикам, істотно випередила логіку, що теж є невід'ємною характеристикою математичної науки.

Геніальна інтуїція таких гігантів, як Ньютон, Лейбніц, Ейлер, допомагала їм уникати помилок. Але необхідні були міцні логічні основи.

Характерні висловлення, що відносяться до XVIII сторіччя. Відомий математик М. Роль писав, що нове числення є колекція геніальних помилок. А великий французький мислитель Вольтер помітив, що це числення являє собою мистецтво обчислювати і точно вимірювати речі, існування яких не може бути доведено.

Рішучий крок до створення міцного фундаменту аналізу був зроблений у 20-і роки минулого століття французьким математиком О. Коші (1789—1857), що запропонував точні визначення границі функції і послідовності і на їхній основі доказавши багато фундаментальних теорем аналізу. Трохи раніш (1821 р.) означення межі і неперервності, цілий ряд інших чудових результатом (у тому числі знаменитий приклад функції, неперервної на проміжку, але не має похідної в жодній його точці) одержав чеський математик Б. Больцано (1781—1848), але його роботи стали відомі багато пізніше.

Означення границі функції по Коші формулюється в такий спосіб: «Число називається границею функції при , що прямує до (тобто ), якщо для будь-якого числа можна підібрати таке число , що для всій , задовольняє нерівность ».

Спираючись на це означення, вже неважко дати означення неперервності в точці: функція неперервна в точці , якщо .

Формулювання означення границі послідовності таке: «Число є границею послідовності , якщо для кожного існує номер , такий, що при усіх вірно нерівність ».

Коші довів наступні теореми про межі, якими ми фактично користалися при обчисленні похідних:

Якщо , то існують межі суми і різниці, добутку, частки (при ), причому



,

,

.

(1)


Гаслом багатьох математиків XVII в. був: «Рухайтеся вперед, і віра в правильність результатів до вас прийде».

Похідна

Поняття похідної

Нехай у = f(x) є неперервна функція аргументу х, визначена на інтервалі (a, b). Візьмемо деяке значення незалежної змінної х і надамо її деякого приростух. Тоді функція y = f(x) набуде приросту

у = f(x + x) – f(x) (рис. 5.1).




Поділіться з Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10


База даних захищена авторським правом ©refua.in.ua 2017
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка
Контрольна робота
Методичні вказівки
навчальної дисципліни
Методичні рекомендації
Загальна характеристика
Лабораторна робота
курсової роботи
охорони праці
Курсова робота
використаної літератури
Список використаної
курсу групи
Зміст вступ
Виконав студент
форми навчання
Виконала студентка
Теоретичні основи
Міністерство освіти
Пояснювальна записка
самостійної роботи
навчальний заклад
Історія розвитку
навчальних закладів
Робоча програма
молодших школярів
діяльності підприємства
роботи студентів
Загальні відомості
Курсовая работа
виконання курсової
світової війни
студентів спеціальності
студент групи
використаних джерел
охорони здоров
Практична робота
вищої освіти
Охорона праці
інтелектуальної власності
навчального закладу
Теоретичні аспекти
Самостійна робота
загальноосвітніх навчальних
Конспект лекцій
вищий навчальний
Вступ актуальність
напряму підготовки
загальна характеристика
Історія виникнення
Практичне заняття
виробничої практики